友情提示：如果本网页打开太慢或显示不完整，请尝试鼠标右键“刷新”本网页！
女士品茶-第2部分
快捷操作: 按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页 按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页 按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部! 如果本书没有阅读完，想下次继续接着阅读，可使用上方 "收藏到我的浏览器" 功能 和 "加入书签" 功能！
涌际阅翘煸缟虾⒆佑敫改阜⑸苏础Ｓ捎谥种衷颍ヒ豢际圆荒芏灾读刻峁┖玫墓兰疲岳鲜辛艘蛔榭际裕缓蠹扑愠鏊锌际缘钠骄掷雌兰酆⒆拥闹读俊Ｕ庋墓兰平峁岣茫嗌俜质呛⒆又读康氖笛榻峁恳桓龅ザ揽际缘姆质蚴鞘荨�
那么老师应该如何组织考试？是搞那种只包括几天前所教授内容的系列考试，还是每次考试都从考试前所教授的全部内容中提取一部分？考试是一个星期搞一次，还是每天搞一次？或者在每个教学单元结束时搞？所有这些都是实验设计涉及到的问题。
如果农业科学家想知道某种人工肥料对小麦生长的效用，就要构建一个实验以取得效用估计时所需要的数据。费歇尔表明，实验设计的第一步是建立一组数学公式，用以描述待搜集数据与欲估计结果之间的关系，因此，任何有用的实验必须是能够提供估计结果的。实验必须是有效的，能够让科学家测定出气候的差异和不同肥料的使用对产量差别的影响。特别是，有必要包括同一实验中打算加以比较的实验处理（treatments）；即那些后来被称为“控制组件”（controls）的东西。
在他那本关于实验设计的书中，费歇尔提供了几个实验设计的范例，并导出优秀设计的一般原则。然而，费氏方法中所涉及到的数学非常复杂，多数科学家设计不了自己的实验，除非他们遵循费歇尔书中提出的实验设计中的某个模式。
农业科学家认识到费歇尔工作的伟大价值，在大多数说英语的国家中，费氏方法很快便成为农业科研的主流学派。从费歇尔的原创性工作出发，用来论述不同实验设计的完整科学文献发展起来。这些设计被应用到农业以外的领域，包括医学、化学和工业质量管理。在许多案例中，所涉及的数学高深且复杂，但此时此刻，我们不妨停下来想想，科学家不可能不假思索地动手实验，这通常需要长时间的审慎思考，而且，其中通常会有大量的、高难的数学。
至于前面所说的女士品茶——那个在剑桥晴朗的夏日午后所做的实验中，那位女士怎样了呢？费歇尔没有描述这项实验的结果，但史密斯教授告诉我，那位女士竟然正确地分辨出了每一杯茶！
第2章 偏斜分布
像人类思想史上的许多革命一样，要想找到统计模型成为科学组成部分的确切时刻，也是很难的。人们可以在19世纪初德国和法国数学家的工作中找到可能存在的特例，甚至在17世纪伟大的天文学家约翰尼斯？开普勒（Johannes Kepler）的论文中，也能找到某种启示。正像本书前言中所提到的那样，拉普拉斯（Laplace）发明了误差函数来说明天文学中的统计问题，但我仍然倾向于把统计革命的发生定位于19世纪90年代K？皮尔逊（Karl Pearson）的工作。查尔斯？达尔文（Charles Darwin）把生物变异认作生命的基本面，并将之作为适者生存理论的基础。然而，是他的英国伙伴K？皮尔逊首先认识到统计模型的根本性质，以及这种模型对19世纪科学中的决定论观点提供了哪些不同的东西。
当我在20世纪60年代开始学习数理统计时，K？皮尔逊的名字在课上很少被提到。当我与这一领域的大人物共同探讨一些问题时，也听不到对K？皮尔逊及其著作的参考。他或者是被忽略了，或是被视为行为早已出局的次要人物。例如，美国国家标准局（the U。S。 National Burean of Standards）的邱吉尔？艾森哈特（Churchill Eisenhart）当时正在伦敦大学学院（University College；London）学习，那是K？皮尔逊人生的最后几年，艾森哈特记忆中的K？皮尔逊不过是一个精神头不足的老头儿。统计研究的步伐已经将他推出局外，他和他的工作被埋进故纸堆中，青年学生神采飞扬，集聚在新的大人物周围学步，其中之一，便是K？皮尔逊自己的儿子，但是没有人去拜见老皮尔逊，他的办公室孤零零地坐落在那里，远离着活跃的、振奋人心的新研究。
当然并不总是如此，在19世纪70年代，年轻的K？皮尔逊离开英国，到德去从事政治科学的研究生学习。在那里，他倾心于卡尔？马克思（Karl Marx）的著作，为了表达崇拜之情，他把自己名字的拼法从Carl改成Karl。带着政治学博士的学位，他回到了伦敦，并在这个领域写过两本值得重视的著作。在维多利亚时代的英国，伦敦的拘谨之风最甚，K？皮尔逊却大胆地效仿德国和法国上流社会的沙龙，组织了一个青年男女谈话俱乐部（Young Mens and Womens Discussion Club）。俱乐部的青年男女平等地聚焦在一起（未婚少女并没有人陪伴），讨论世界上重大的政治和哲学问题。K？皮尔逊正是在那种环境下与夫人相遇而结缘的，这个事实使人感到发起这类俱乐部可能另有动机。这个小小的社会冒险对我们进入K？皮尔逊的内心世界提供了帮助，可以见证他对已经建立起来的传统是那样地不以为意。
尽管拿的是政治学博士学位，K？皮尔逊的主要兴趣还是在科学哲学和数学模型的性质上。19世纪80年代，他发表了《科学的法则》（The Grammar of Science），这本书后来再版了多次。在第一次世界大战之前的一段时间里，它被视为关于科学和数学性质最伟大的著作之一，其中充满了闪光的、原创性的、最具洞察力的见解，这使该书成为科学哲学的一本重要著作。同时，它又是以流畅、简单的风格写成，任何人都可以接受，你不必懂得数学就可以理解《科学的法则》。尽管从写作之日算起，这本书已经有100多年的历史了，但其中充满洞察力的见解和思想，对21世纪的数学研究，仍然是适用的。而它所提供的对科学性质的理解，至今也是真实的。
高尔顿的生物统计实验室
在人生的这个时段，K？皮尔逊感受到了英国科学家弗朗西斯？高尔顿（Francis Galton）爵士的影响。大多数人知道高尔顿这个名字，缘于他是指纹现象的“发现者”。高尔顿的贡献是认识到指纹对每一个人都是独特的，此外，还有通常用于识别和分类指纹的方法。指纹的唯一性存在于手指类型中出现的不规则标识和切面，这被称为“高尔顿标识”（Galton Marks）。高尔顿做的远比这多，作为一个只是将生物学算作其业余爱好的科学家，通过数字模型的研究，他寻求将数学的严密引入生物学，这同样是富有价值的。他所初创的各种调查当中的一项，是对天才遗传的研究。在这项研究中，他搜集了有关父子的信息，这些人因智商高而闻名。但由于当时对智力的测量没有什么好的办法，他发现研究这个问题特别困难，于是他决定转向诸如身高之类的遗传特性的研究，因为这更容易测量些。
高尔顿在伦敦成立了生物统计实验室（biometrical laboratory），并打广告动员不同的家庭来做测量。在这个实验室，他搜集身高、体重数据，测量特殊的骨骼和家庭成员的其它特性。他和他的助手将这些数据列成表格，并一再检验，他是在寻找利用父母测度数据来推断子女的某些办法。比如说，很明显，高个子父母很容易有高个子的小孩，但是不是存在某些数学公式，只用父母的身高就可以预测孩子将有多高呢？
相关与回归
高尔顿用这种方法，发现了他称之为“向平均回归”（regression to the mean）的现象，这表现为：非常高的父亲，其儿子往往要比父亲矮一些；而非常矮的父亲，其儿子往往要比父亲高一些。似乎是某种神秘的力量，使得人类的身高从高矮两极移向所有人的平均值。不只是人类身高存在着向平均数回归的现象，几乎所有的科学观察都着了魔似的向平均值回归。在第5章到第7章，我们将看到，费歇尔如何能够将高尔顿向平均值回归的思想纳入统计模型，而这种模型现在支配着经济学、医学研究和工程学的很多内容。高尔顿仔细思考了他的惊人发现，而后认识到这必定是真实的，在进行所有观察之前这就是可以预言的。他说，假设不发生这种向平均值的回归，那么从平均意义上看，高身材父亲的儿子将与他们的父亲一样高，在这种情况下，一些儿子的身材必须高于他们的父亲，以抵消身材比父亲矮小者的影响，使平均值不变。高身材者这一代人的儿子也将如此，那么会有一些儿子身材更高。这个过程将一代一代延续下去。同样地，将会有一部分儿子身材比他们的父亲矮小，而且有一部分孙子将更加矮小，如此下去，不用多少代，人类种族就将由特别高和特别矮的两极构成。
上述的情形并没有发生，人类的身高在平均意义上趋向于保持稳定。只有当非常高的父亲其儿子平均身材变矮，而非常矮的父亲其儿子的平均身材变高，才能出现这种稳定。向平均值回归是一种保持稳定性的现象，它使得某给定物种代际之间大致相同。
高尔顿发现了这种关系的一种数学测度，他称之为“相关系数”（coefficient of correlation）。高尔顿给出了明确的公式，以计算这个系数，所用的资料则是在生物测量实验室搜集的。这是一个非常详细而明确的公式，它只计算了向平均值回归的一个方面，但没有告诉我们任何有关这种现象原因的信息。正是在这个意义上，高尔顿最先使用了“相关”这个字眼，这之后它演变进入了大众词汇。与高尔顿特定的相关系数相比，“相关”经常被用来表示更为模糊的东西，尽管“相关”本身有严格的科学含义。科学圈外的人经常说到这个词，似乎它描述了两种事物如何相联系，但除非你涉及到高尔顿的数学测量，否则，当你使用高尔顿用于特别目的的“相关”这个词时，它不必那么精确。
分布与参数
有了这个计算相关的公式，高尔顿实际上已经非常接近新的革命性观念了，这个观念革命在20世纪几乎修正了所有的学科。但却是他的弟子K？皮尔逊，在非常完整的意义上第一个规范地阐明了这个观念。
为了理解这个革命性的观念，你必须将已有的关于科学的成见抛开。通常我们被教导，科学就是测量，我们进行精心的测量，并用它来寻找描述自然的数学公式。在高中的物理课中我们学过，当时间给定时，一个自由落体的运行将遵循一个含有符号“g”的公式，这里的“g”是关于重力加速度的常量。我们学过可以用来确定“g”的值的实验。然而，当高中生们进行一系列确定值的实验时，顺着斜板滚动小球，并测量小球需要多长时间到达不同的位置时，发生了什么呢？这就是很少得出确切的结果。学生进行实验的时间越长，困惑就越多，因为不同的实验得出了不同的“g”值。老师仅凭自己优越的知识来审视学生的实验，并认定学生之所以得不到正确的结果，要么是因为工作草率，要么是因为不够细致，要么是抄错了数据。
老师没有告诉学生的是：所有的实验都是草率的，并且，即使是最精心的科学家，也很少得到确切的数值。不可预见和不可观察的小扰动在每一个实验中都有：室内的空气可能太潮湿，或者落体在滚动前卡住了一个微秒，旁边飞过的蝴蝶可能会有其影响：造成气流的轻微扰动。人们从一个实验中真正得到的是散乱的数据，其中没有一个单个数据是确切的，但所有这些数据可以用来对确切值进行近似的估计。
武装了K？皮尔逊的革命性观念，我们就不再将实验结果看作精心测量得出的数据，它们也不是本来就确切的，用更容易接受的术语来代替：它们是一组散布数据，或一个数据分布中的样本。数据的分布可以写成数学公式，它告诉我的数值是不可预测的，我们只能谈论概率值而不是确定值，单个实验的结果是随机的，在这个意义上看它们是不可预测的，然而，分布的统计模型却使我们能够描述这种随机的数学性质。
科学家花了一些时间才认识到观测值所固有的随机性质。在18和19世纪，天文学家和物理学家创造出描述他们观察值的数学公式，达到了可接受的精确程度，在为测量工具不够精确，所以观察值与预测值之间的是预料之中的，可以忽略不计。星体和其它天体的运动被假定遵循运动基本公式所确定的精确路径，其不确定性是由于简陋的测量工具造成的，并不是其固有的性质。
随着物理学中更为精确的测量工具的发展，随着将这种测量科学扩展到生物学和社会学的尝试，大自然所固有的随机性越来越明显了。怎么处理它？一种办法是坚持数学公式的精确性，将观测值与预测值之间的离差视为小的、无关紧要的误差。事实上，早在1820年，拉普拉斯的数学论文描述了第一个概率分布，即误差分布，那是一个与这些小的、无关紧要的误差相联系的概率的数学公式。这个误差分布以钟形曲线（bellshaped curve）或正态分布（the normal distribution ）的说法进入了大众的词汇。
这使K？皮尔逊比正态分布或误差分布更进了一步，审视生物学中积累的数据。K？皮尔逊认为，测量值本身，而不是测量的误差，就具有一种正态分布。我们所测量的，实际上是随机散布的一部分，它们的概率通过数学函数——分布函数被描述出来。K？皮尔逊发现了被他称为“偏斜分布”（skew distribution）的一组分布函数，他宣称，这组函数可以描述科学家在数据中可能遇到的任何散布类型，这组函数中的每一个分布由四个数字所确定。
用来确定分布函数的这些数字与测量中的数字不属于同一类型，这些数字决不会被观察到的，但可以从观测值散布的方式中推导出来。这些数字后来被称为参数（parameters——源自希腊语，意思是“几乎测量”（almost measurements））。能够完整地描述K？皮尔逊体系中数字的四个参数分别被称为：
1。 平均数（the mean）——测量值散布状态的中间值；
2。 标准差（the standard deviation）——测量值的散布与平均值偏离有多远；
3。 对称性（symmetry）——测量值在平均值一侧规程的程度；
4。 峰度（kurtosis）——个别的观测值偏离平均值有多远。
用K？皮尔逊偏斜分布体系去考虑问题，思路会有一种微妙的转移。在K？皮尔逊之前，科学所处理的事情都是真实的。开普勒试图发现行星如何在空间运行的数学规律；威廉？哈维的实验打算确定血液如何在某一特定动物的静脉和动脉中游动；化学则处理元素和由元素组成的化合物。然而，开普勒所试图追踪的“行星”实际上是一组数据，用来给地球上的观测者所看到的天空中微弱的光点定位。单匹马身上血液通过静脉流动的实际情形，也许与在另一匹马或者一个人身上所可能看到的不同。没有人能够生产出纯铁的样本，尽管谁都知道铁是一种元素。
K？皮尔逊提出，这些观测到的现象只是一种随机的映像，不是真实的，所谓的真实是概率分布。科学中真实的东西并不是我们所能观测到或能把握到的，它们只是通过用来描述我们所观测事物随机性的数学函数来反应。科学调查中我们真正想确定的，是分布的四个参数。从某种意义上说，我们永远不能确定这四个参数的真实数值，而只可能从资料中估计它们。
K？皮尔逊并没有意识到这关键的一点，他以为，如果我们能够搜集到足够的数据去估计参数，就会得到参数的真实数值。而他的年轻对手费歇尔指出，K？皮尔逊的许多估计方法并不是最优的，在20世纪30年代末期，当K？皮尔逊临近他漫长生命的终点之际，一位杰出的波兰年轻数学家耶日？奈曼（Jerzy Neyman）表明，K？皮尔逊的偏斜分布体系并没有包含所有可能存在的分布，许多重要问题不能用K？皮尔逊的体系解决。
还是让我们离开1934年那个被离弃的老皮尔逊吧。回到他三四十岁、精力充沛的时期，那时的他对自己所发现的偏斜分布充满了热情。1897年，他接管了高尔顿在伦敦的生物统计实验室，带领一支年轻的娘子军（被称为“计算员”），计算高尔顿所积累的人种测量数据的分布参数。在20世纪之交，高尔顿、K？皮尔逊和R？韦尔登（Rerhael Weldon）共同努力，创办了一个新的科学期刊，这将使K？皮尔逊的观点应用到生物数据上。高尔顿用他的个人财富建立了一个信托基金支持这个期刊。在第一期，编辑们提出了一个雄心勃勃的计划。
生物统计计划
当时，英国科学家中有一位杰出的人物，他就是达尔文，同期的科学家们致力于探索达尔文富有洞察力的见解，高尔顿、K？皮尔逊和韦尔登便是其中相当热心的骨干。达尔文的进化理论认为，生命形式随着环境压力而变化，他提出，变化的环境会给更适应新环境的随机变化提供些许的优势，渐渐地，伴随着环境改变和生命形式继续发生随机转变，新物种将会出现并且更适于在新的环境中生存和繁殖。这一思想被简称为“适者生存”（survival of the fittest）。当恣意妄行的政治学家将其用于社会生活，宣称那些在经济竞争中取得胜利的富人比身陷贫困的穷人更为适于生存时，这一理论对社会就有不好的影响——适者生存理论成了猖狂的资本主义的辩护者，在那里，富人被授予了道义上的特权去鄙视穷人。
在生物科学中，达尔文的思想似乎很有道理。达尔文可以指出相关物种的相似性，作为现代物种从先前物种演化而来的佐证。达尔文表明，物种上些许不同的小型鸟类，即使是生活在孤岛上，也有许多解剖学上的共性。他指出，不同物种胚胎之间的相似性，这包括人类的胚胎，在开始是有尾巴的。
有一件事是达尔文做不到的，那就是他不能给出人类历史的时间框架中，新物种实际出现的例子。达尔文设定新物种由于适者生存而出现，但没有证据，他不得不做的只是展示现代物种很好地适应了它们所处的环境。达尔文的说法似乎只是表明了已知的事情，而且理论本身有一个很吸引人的逻辑结构，但是如果套用犹太人的一句老话就是“举例并不是证明”（For instance is no proof）。
K？皮尔逊、高尔顿和韦尔登打算在他们的新期刊中将这事搞清楚。在K？皮尔逊看来，只有概率分布是真实的，达尔文的雀鸟（他在书中用到的一个重要例子）并不是科学调查的对象，而某一种雀鸟的总体随机分布才是这个对象。对某一给定雀鸟种类而言，如果能够测量其全体的喙长，这些喙长的分布函数将有四个参数，这四个参数将是这一种雀鸟的喙长。
K？皮尔逊说，假如存在着某种环境力量，通过提供优越的生存能力，使得某一物种产生某种特定的随机变化，我们也许不能生存得那么久，以看到新物种的出现，但我们能够看到分布的上个参数的变化。在他们期刊的创刊号上，三位编辑宣布：他们的新期刊将从全世界搜集数据，以确定这些分布的参数。最终期望表明，样本参数的变化与环境变化相关。
他们将新期刊定名为《生物统计》（Biometrika），高尔顿创建的生物统计基金会给予它慷慨资助。由于资金是这样地充裕，以至于该期刊成为世界上第一本印有全彩照片的期刊，甚至还带着画有复杂图画的下班纸折页。期刊以高品质的优质纸印刷，连最复杂的数学公式也展示了出来，尽管那意味着极端复杂和昂贵的排版工艺。
接下来的25年里，《生物统计》发表了通讯员们从各地发来的数据：有的深入非洲的丛林，测量原住民的胫骨和腓骨；有的从中美洲的雨林抓到奇特的热带鸟类，测量其喙长；还有的甚至偷盗古墓，揭开死人头盖骨灌铅，以测量其脑的容量。在1910年，该期刊发表了几幅全彩照片，画面是俾格米男人裸躺在地上，的生殖器旁还摆着量尺。
在1921年，一个年轻的女通讯员朱莉亚？贝尔（Julia Bell）描述了她在试图对阿尔巴尼亚新兵进行人类形体测量时所遇到的困难。她离开维也纳去阿尔巴尼亚一个边远的基地，本以为可以得到讲德语军官的帮忙，当她抵达时才发出，那里只有一个士官能说三句德语。她无所畏惧地拿出了测量所用的铜标尺，通过形体动作让那些年轻人理解她要干什么，直到他们按要求抬起手臂和脚。
对每一组这样的数据，K？皮尔逊和他的计算员们都计算出分布的四个参数，论文将展示最佳分布的图示，并评论该分布与其它相关数据的分布有何不同。回顾过去，很难看出所有这些行动怎样帮助证明了达尔文的理论。浏览《生物统计》的这些作品，我得到这样一种印象：这些工作不久就变成为自身原因而进行努力，除了给特定数据组估计参数外，没有实际目的。
在期刊中还夹杂着其它类型的论文，其中一些涉及理论数学，以处理发展概率分布时遇到的问题。比如在1908年，一个不知姓名的作者，以“学生”（“student”）为笔名发表了论文，提出了后来几乎在所有现代科学工作中都有作用的研究成果——“学生”的“t检验”。接下�
快捷操作: 按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页 按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页 按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部!
温馨提示： 温看小说的同时发表评论，说出自己的看法和其它小伙伴们分享也不错哦！发表书评还可以获得积分和经验奖励，认真写原创书评 被采纳为精评可以获得大量金币、积分和经验奖励哦！