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人类的知识-第42部分
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这就是说，我们必须把一个概率解释为一个频率。
2。算术中的归纳在算术中我们容易找出导致正确结论的归纳实例，也容
易找到其它导致错误结论的归纳实例。耶方斯举出两个实例：
5，15，35，45，65，95
7，17，37，47，67，97
在第一行中，每个以5 结尾的数都可以被5 整除；这就使人推想每个以
5 结尾的数都可以被5 整除，而这是对的。在第二行中，每个以7 结尾的数
是一个质数；这也可能使人推想每个以7 结尾的数都是质数，而这却是错误
的。
或者让我们看：“每个为偶数的整数是两个质数的和”。每个试过的实
例都说明这是对的，而这样的实例在数量上是很大403 的。然而人们对于它
是否永远为真这一点却一直抱着合理的怀疑。
作为算术归纳的一个明显失败的例，让我们看下面这个实例①：使π（x）
≤x 的质数的数目
li x
dt
t o
x
（ ）
log
= ò
我们知道当x 数大时，π（x）和li（x）几乎相等。我们还知道对于每
个已知的质数来说，π（x）＜li（x）
高斯推想过这个不等式永远为真。人们试过所有107 以下的质数以及许
① 看哈代的《腊玛努赞》第16，17 页。
多超过 107 的质数，都没有发现不能成立的个别情况。然而里脱伍德在1912
年却证明对于无限数目的质数来说这个不等式不能成立，斯古士（伦敦数学
学会通报，1933 年）也证明这个不等式对于某个小于
34
10
10
10
的数不能成立。我们将看到高斯的推想尽管已经证明是错误的，它却具有甚
至比我们最坚信不移的关于经验界的概括所依靠的要好得多的归纳证据。
我们很容易无限制地得出算术中的错误归纳，而无需过多地涉及数论。
举例来说，小于n 的任何数都不能被n 整除。我们可以使n 任意增大，这样
就为“任何数目都不能被n 整除”这个概括找到尽可能多的有利的归纳证据。
显然任何n 个整数一定具有大多数整数所不具有的许多共同性质。举一
件事情来说，如果m 是其中最大的数，它们就都具有不比m 大这个无限罕见
的性质。所以如果应用到整数上来，无论一般的还是特殊的归纳都不是正确
有效的，除非在它身上应用归纳的那种性质具有某些限制。我不知道怎样说
出这种限制，然而任何一个有能力的数学家关于那种可能得出一个后来证明
正确有效的归纳的性质都具有一种类似常识的觉察力。如果你看到l＋3＝
22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，你就会容易推想到
1＋3＋5＋。。＋（2n—1）＝n2
并且我们可以很容易证明这个想法是正确的。同样，如果你看到13＋23
＝32，13＋23＋33＝62，13＋23＋33＋43＝102，你就会推想到靠前面的n 个立
方的和永远是一个平方数，而这又是很容易加以证明的。对于这类归纳来讲，
数学的直观并不是永远可靠的，但是有能力的数学家运用直观时对的次数似
乎比错的次数要多。但是我不知道怎样讲明白在这类情况下指导数学直观的
那种东西。另外，我们只能够说还没有任何已知的限制能使应用到自然数上
的归纳有效。
3。归纳作为一个逻辑原理是无效的显然如果我们可以任意选择我们
的类β，我们就可以很容易地确信我们的归纳将要失败。设a1，a2，。。an
为a 中直到现在已经观察过的分子，并已发现它们都是β的分子，另外设an
＋1 为a 的下一个分子。就纯粹逻辑的范围而论，β也许只由a1，a2，。。an
这些项目组成；或者它也许是由把an＋1除外的宇宙中所有事物组成；或者它
也许是由任何介乎这两者之间的任何类组成。就这类情况中无论哪一种情况
来说，推论到an＋1的归纳都是错误的。
显然（反对的人可能说）β必须不是一个也许可以叫作“制造出来的”
类，即一个部分地由外延得到定义的类。在归纳推论中所研究的那类例子中，
β永远是一个通过内包而不是通过外延来知道的类，除了那些被观察到的分
子a1，a2，。。an以及那些不同时是a 的分子而又碰巧可能被观察到的β的
分子。
我们很容易做出显然错误的归纳。一个乡下人可能说会说：所有我曾看
到的牛都在希尔福郡内；所以大概所有的牛都在这个郡内。或者我们可以提
出：所有现在活着的人都没有死去，所以大概所有现在活着的人都不会死。
这类归纳中的谬误是很明显的，但是如果归纳是一个纯粹逻辑的原理，这些
就不是谬误。
因此显然如果要归纳不能证明为伪，β这个类必须具有某些特点，或者
必须与a 这个类具有某种特殊关系。我并不是主张有了这些限制这个原理就
一定为真；我所主张的是没有这些限制这个原理就一定为伪。
4。在经验界的素材中，事例都是按照时间顺序发生的，因而它们永远是
成系列的。当我们研究归纳是否可以在算术中应用的时候，我们自然想到按
照大小排列起来的那些数字。但是如果我们可以任意排列它们，我们就可以
得到奇怪的结果；例如，象我们已经看到的那样，我们可以证明一个任意选
取的数不为质数的可能是无限小的。
在表述特殊归纳时重要的是应当有下一个例，这就要求排成系列。
要让普遍归纳具有说服力，我们就必须知道a 的前n 个分子发现是β的
分子，而不仅知道a 和β具有n 个共同分子。这也要求排成系列。
5。假定我们承认如果要归纳推论正确有效，在a 和β之间就必须有着某
种关系，或者它们当中一个必须有着某个特点，由于这种关系或这个特点它
才正确有效，那么显然这种关系必须是介乎内包之间的——例如介乎“人”
和“有死的”之间或者介乎“反刍动物”和“分蹄的”之间。我们打算推论
出一种外延关系，但是在我们处理经验界中不断发现新的分子的一些已知类
时，我们起初并不知道a 和β的外延。每个人都会承认“狗吠”是一个正确
的归纳；我们预料到一种动物的视觉外形与它做出的声音之间的相互关联。
这种预料当然也是另一种范围更大的归纳的结果，但这并不是目前我所要谈
的问题。我所要谈的是介乎都是内包的一种形状与一种声音之间的相互关连
以及某些内包看来好象比某些其它内包更可能具有归纳上的关系这件事实。
6。这一点是明显的。如果宇宙是有限的，完全的列举在理论上就是可能
的，在完成这项工作之前一般的概率计算表明归纳大概是正确有效的。但是
在实际应用上这种想法并没有什么重要性，这是因为我们能够观察的事物与
宇宙中事物在数量上过分悬殊的缘故。
让我们回到那个一般原理上来，记住我们必须找出某些使它406 可能正
确有效的限制。让我们先看特殊归纳。特殊归纳说，如果我们发现任意选出
的属于a 的n 个分子完全由β的分子组成，那么下一个a 将是一个β就是可
能的；换句话说，大多数剩下的a 是β。这句话本身只需要具有概然性。我
们可以假定a 是一个有限类，比方说包括N 个分子。我们知道其中至少有n
个是β的分子。如果同时为β的分子的a 的分子总数是m，
N！
那么选择个项目的方法总数是n
n！（N …n）！
①13602100_0486_0 ，而选择个为
n
m！
a的项目的方法总数是
n！（m …n）！
。因此一个完全由组成的选择机会是
a
m！（N …n）！
。
N！（m …n）！
如果pm 是m 作为a 和β的共同项目数的先验可能性，那么在经验后出现
的可能性就是
m！（N …n）！
。 N
Pm·
m！（N …n）！
Pm·
N！（m …n）
N！（m …n）！
1
让我们把它叫作qm。
如果a 和β的共同分子数是m，那么取出n 个为β的a 之后，还有m—n
个β和N—m 个非β。所以，根据a 和β有m 个共同分子的假设，我们得出另
一个β的概率。因此总的概率是
N
。qm ·
m …n
N …n
m=n
这个式子的值完全要看pm 的值来定，而pm 的值并没有正确有效的计算
方法。如果我们和拉普拉斯一样，假定m 的每个值具有相同的概率，我们就
得到拉普拉斯的结果，即下一个是β的机会是
nn
＋
＋
21
。如果我们先验地假定
a
每个a 为β和不为β是同样可能的，那么我们就得到1/2
的值。即使我们有拉普拉斯的假设，普遍归纳也只有
Nn ＋
＋
11
的概率，通常这是
个较小的值。
因此我们需要某种在m 接近N 时使得pm 为大数的假设。这将必须依靠a
和β两类的性质，如果我们要让它具有正确有效机会的话。
C。归纳的数学处理
从拉普拉斯那时以来，为了证明归纳推论的概然真理来自数学的概率
论，人们曾经做过各种不同的尝试。现在大家认为这些尝试都不成功，并且
认为如果要使归纳论证正确有效，就必须借助于不是属于逻辑学家所可能想
到的在逻辑上可能的各个不同的世界，而是属于现实世界的某种超出逻辑范
围的特点。
这类论证中第一个就是由拉普拉斯提出的。它的正确的纯数学形式有如
下面所说：
有n＋l 个外形相似的口袋，每个口袋里有n 个球。第一个口袋里的球都
是黑球；第二个口袋里有一个白球，其余是黑球；第（r＋1）个口袋里有r
个白球，其余是黑球。我们选择其中一个不知包含什么的口袋，并从中取出
m 个球。结果发现这些球都是白球。那么（a）下一个取出的球是白球，和（b）
我们已经选出其中都是白球的口袋的概率是多少？
m ＋ 1
答案是：（）下一个球为白球的机会是am ＋ 2
；（ ）我们已经选出其中
b
都是白球的口袋的机会是
mn ＋
＋
11
。
根据有限频率说这个正确的结果有一种简单明确的解释。但是拉普拉斯
推论出如果已经发现个为，那么下一个AB ABm ＋1
，而所有的A
m 为的机会是
m ＋1
m ＋1
都为B 的机会是
n ＋1
。他是通过假定给出个我们对之一无所知的客体，其
n
中0，1，2，。。n 个为B 的概率都相等而得出这个结果的。当然这是一个荒
谬的假定。如果我们换用一个荒谬程度稍小的假定，即认为每个客体为B 或
不为B 的机会相等，那么下一个A 为B 的机会仍然是1/2，尽管已经发现许
多A 为B。
即使我们接受他的论证，如果n 比m 大得多的话，普遍归纳仍然不大可
能，虽然特殊归纳可能变得具有很大的概然性。事实上他的论证已经成了只
有历史兴趣的东西。
凯恩斯在他的《概率论》中对于归纳做出了纯粹数学可能做出的最好处
理，并且最后认为归纳是不充分的。他得出下面的结果
设g 是一个概括性命题，x1，x2，。。是有利于这个命题的观察到的实
例，h 是在有关范围内的一般外界条件。
假定x1/h=x2/h=等等。
使pn=g/h x1x2。。xn。
这样pn 就是普遍归纳在有了个有利的实例之后的概率。写出表示g
ng
的否定，p0表示g/h，即这个概括命题的先验概率。
那么Pn =
P ＋ xx 。。
Px0
/ gh（1 …P）
。
12n 0
当n 增加时，它就接近于1 而以1 为极限，如果
x x 2 。。xh
1
P0
接近于0 而以0 为极限的话；如果有着有限量ε和η使得对于所有足够
大的r 来说，
x /xx 。。xh＜1…ε 并且P ＞η，
r 12 r…1 g 0
那么上面那种情况就会发生。wrshǚ。сōm
让我们研究一下这两种情况。第一种情况说有一个小于1 的量1…ε，在
这个概括性命题为伪的情况下，使得在出现一定数目的有利实例之后，出现
下一个有利于这个概括的概率永远小于这个量。让我们看它的一个失败的
例，即“所有的数都不是质数”这个概括。当我们顺着数列看下去时，质数
越来越少，在出现r 个非质数之后下一个数本身为非质数的机会就会增加，
并且在r 保持不变的情况下接近必然性而以它为极限。所以这种情况可能失
败。
但是第二种情况，即g 在归纳开始之前就必须具有一个大于某个有限概
率的概率，却更为困难。一般来说，我们很难看出有什么方法计算这种概率。
对于一个从来没有见过天鹅或听说过天鹅是什么颜色的人来说，“天鹅都是
白色的”具有多大的概率呢？这类问题是既不清楚而又意思含糊的，凯恩斯
也看出这类问题使得他的结论不够令人满意①。
有一个简单的假设可以得出凯恩斯所需要的那种有限概率。让我们假定
宇宙中事物的数目是有限的，比方说是N。设β是一个由n 个事物组成的类；
并且设a 是一个由任意选取的m 个事物组成的类。
那么可能出现的的数目是
m N （
N！…
！
m）！
，并且这些可能出现的
a
n！
α包含在β内的数目是
m！（n …m）！
。所以“所有的α都是β的机会是
n！（N …m）！
，而这是个有限数。这就是说，我们对之没有任何证据的每个
N！（n …m）！
概括性命题为真的机会都是一个有限数。
① 我将在第六部分第二章里再来谈这个问题。
可是我却担心，如果N 象爱丁敦所认为的那样大，那么使得一个归纳概
括具有很高概率所需的有利实例的数目将会大大超过实际可能发现的有利实
例的数目。所以这种摆脱困难的方法从理论上看尽管很好，却不能用来为科
学实践找到合理的根据。
先进科学使用的归纳法与简单列举的归纳法有些不同。首先要有许多观
察到的事实，然后有一个与所有事实都相一致的一般理论，然后又从这个理
论引导出为以后的观察所证实或推翻的推论。这里的论证依靠反概率原理。
设P 为一个一般理论，h 为已经知道的数据，q 为有关p 的一个新的实验数
据。那么
（p /h）（q / ph）
p / qh =
q/h
在最重要的情况下，q 是从p 和h 得出的结果，所以q/ph＝1。因此，
在这种情况下，
p/h
p/ qh =
q/h
由此可以看出如果q/h 的值很小，q 的证实就大大增加了p 的概率。可
是这却不具有人们可能希望得到的那些结论。如果用“p”表示“非P”，我
们就有
q/h ＝pq /h ＋pq /q ＝p/h 十pq /h
pq / h
因为在已知h 的情况下，蕴涵，这样如果y＝
p/ h
，
pq
我们就有p / gh =
1＋
1y
。如果y 的值小，那么这将是一个很大的概率。现在
有两个条件可以使y 的值小：（1）如果P/h 的值大，（2）如果pq/h 的值小，
也就是p 伪而使q 变得不大可能的那种情况。计算这两个因子所遇到的困难
正和凯恩斯的讨论中所出现的困难一样。为了算出p/h，我们需要具有某种
在发现使我们想到p 的个别证据之前，计算p 的概率的方法，而这种方法却
是不容易找出来的。我们看得清楚的只是如果一个让我们想到的定律在发现
任何有利于它的证据之前就具有相当大的概率，那就一定要依靠一个大意是
说某种相当清楚的简单定律必然为真的原理。但这却是一个困难的问题，我
在以后还要谈到它。
在某些种类的情况下，对于pq / h 进行近似计算具有更大的可能。让我
们拿海王星的发现作例。就这个实例来讲，p 是万有引力定律，h 是海王星发
现以前关于行星运动的观察，而q 是海王星存在于计算表明它所应该存在的
地方。这样pq/h 就是在万有引力为伪的情况下，海王星出现于它所在的地
方的概率。这里我们必须对于我们所用的“伪”这个词的意思做出一条规定。
就这个词的适当意思来讲，认为爱因斯坦的理论证明牛顿的理论为“伪”是
不正确的。在肯定一切表示数量的科学理论时都应该保留误差范围；如果做
到了这一点，牛顿的万有引力学说对于行星运动来说就仍然为真。
下面的论证看来似乎今人抱有希望，但是在事实上却是不正确的。
就我们所举的实例来讲，脱离开p 或者某个一般定律，h 对于q 就是无
关的；这就是说，对于其它行星的观察不能使海王星的存在具有比原来更多
或更少的概率。至于其它定律，我们也许可能411 认为波得定律使得有一个
大体具有海王星轨道的行星存在从大体上看是可能的，但是它却不能指明在
某一特定日期行星已经走过的一段轨道。如果我们假定波得定律以及万有引
力以外的任何其它有关定律给予认为有一个大体沿着海玉星轨道运行的行星
的假定以概率X，并且假定对于海王星的视位置的计算带有误差范围，那J
么海王星在它所在的位置被发现的概率就将是J /2 。现在的值很小而的
pJ x
值也不能认为很大。所以pq / h ，这个值等于xxJ /2 p，就必然很小。假定
我们把X 作为1/ 10 ，J作为分钟，那么pq /h ＝1/ 10x ×3600＝1/ 36 ，
6
000。所以如果我们假定p/h＝1/36，我们就将有y＝1/1000 和
p / qh =
1000
。
1001
这样，即使在海王星被发现之前，万有引力定律象掷骰子出双六那样不
大可能，在发现之后它却具有1000 比1 的有利情况。
这个论证如果推广到所有观察到的有关行星运动的事实，显然表明如果
万有引力定律在最初被人提出来的时候即使具有很小的概率，它不久就几乎
成了带有必然性的东西。但是它却丝毫不能帮助我们估计这种最初的概率，
因此即使它真，也不能为我们从观察到理论中间所做的理论性质的推理提供
稳固可靠的基础。
另外，上面这种论证由于以下的事实也可以受到人们的反对，即万有引
力定律并不是使人预料海王星在它原来的地点出现的唯一定律。假定万有引
力定律在时间t 以前一直为真，这里t 是发现海王星之后的任何一个时刻；
那么我将仍然有q/p’h＝1，这里p'表示认为这个定律只是到t 以前一直为
真的假设。所以我们有比纯粹机会或者纯粹机会和波得定律加起来更多的理
由来预料海王星的发现。这个定律直到那时一直为真这件事已经成为具有很
大概然性的事情。推论它在将来有效就需要一个绝不能从数学的概率论中推
导出来的原理。这种想法破坏了建设一般理论的归纳论证的全部力量，除非
这种论证受到某种类似人们所认为的自然的齐一性的原理的支援。在这里我
们又一次看到归纳需要某种超出逻辑范围、不依靠经验的普遍原理的支持。
D。莱新巴哈的理论
莱新巴哈的概率论的特点在于归纳就包含在概率的定义之中。这个理论
有如下述（略加简化）：
已知一个统计上的系列——例如生死统计上的系列——并且已知包含该
系列中某些分子的部分重合的两个类a 和B，我们常常发现当项目数大时，a
的分子为B 的分子的百分数大体上保持不变。假定当项目超过了比方说10，000 时，人们发现记录下来的a 为B 的比例永远不能大大超过或不及m/n，
并且这个有理分式比任何其它分式都更加接近平均观察到的比例。这样我们
就“假定”不管这个系列怎样扩展，比例将永远接近M/n。我们把一个a 为
一个B 的概率定义为在观察次数无限增加时观察到的频率的极限，借着我们
的“假定”，我们认为这个极限是存在的并且就在m/n 的邻域中，这里m/n
是可能得到的最大实例中所观察到的频率。
莱新巴哈明确断言任何命题都不带必然性；所有命题都只具有不同程度
的概然性，并且每个概率都是一个频率的极限。他承认，根据这种理论，计
算频率所用的那些项目本身也只具有概然性。拿死亡率作例来看：当我们判
断一个人死了之后，他可能仍然活着；因此死亡统计中每一项都是可以怀疑
的。根据定义，这就表示一次死亡的记录一定是一系列记录当中的一个，而
这个系列中有些记录是正确的，有些则是错误的。但是那些我们认为正确的
记录也只具有概然的正确性，并且必定是某种新的系列的分子。这一切他都
承认，但是他说到了某个阶段我们就结束了这种无止境的后退，而采取一种
他所谓的“盲目假定”①。一个“盲目假定”是认某个命题为真的一次决定，
尽管我们并没有这样做的充分理由。
在这个理论中有两种“盲目的假定”，也就是：（1）在这个统计系列中
我们选取当作基本项目的那些最终项目；（2）认为在有限次数的观察中发现
的频率，不管观察次数怎样增加，大体上会保持不变的那个假定。莱新巴哈
认为他的理论是完全属于经验范围的，因为他并不断言他的“假定”为真。
我现在并不是要研究莱新巴哈的一般理论，这种理论已经在前面一章里
谈论过。我现在要研究的只是他关于归纳的理论。他的理论的要点是：如果
他的归纳假定为真，那么预测就是可能的，否则预测就�
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