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人类的知识-第45部分
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就是在第n 次有利事例之后的概率。我们想知道在什么条件下，当n 无限增
加时，pn趋近于它的极限1。为此，我们必须考虑在概括性命题虚妄的条件
下，我们竟然观察到n 个有利事例，而没有观察到一个不利事例的概率。假
定我们把这个概率叫作Qn。凯恩斯证明如果Qn与PO之比在n 增加时趋近于
零，那么当n 无限增加时Pn趋近于它的极限1。这就要求Pn应为有限数，qn
在n 增加时应趋近于零。只靠归纳法我们不能知道这些条件在什么场合下得
到满足，如果存在这种场合的话。
让我们看一下p0应为有限数的条件。这就是说，被提出的概括性命题“凡
A 都是B”；在我们观察到不管是有利还是不利的事例之前就有几分可以成立
的希望，所以这至少是个值得研究的假设。按照凯恩斯的处理办法，概率p0
是对于一般与件h 而言的，这种与件看来可以包括除了A 是B 或不是B 的
实例以外的任何东西。很难不令人这样认为：这些与件是由至少有一部分确
已成立的类似的概括性命题所组成，从这些概括性命题我们引导出有利于“凡
A 都是B”的归纳证据。举例说，你想证明凡铜都导电。在用铜做实验之前，
你试过许多其它元素，发现每种元素在导电方面都表现出一种特有的行为。
于是你根据归纳得出结论：铜都导电或都不导电；因此你的概括性命题在你
进行观察之前就有了一种可以觉察到的概率。但是因为这种论证使用了归纳
方法，所以对于我们想做的事情没有什么用处。在我们做出所有元素在导电
方面都表现出一种特有的行为这个归纳之前，我们必须先问一下，在我们还
没有观察到这个归纳的真或伪的实例以前，它的概率有多大。我们可以接着
把这个归纳归入一个范围较大的归纳之中；我们可以说：“人们对于很多种
性质进行过试验，就每一种性质来说，每种元素都表现出一种特有的行为；
所以导电大概也是这样一种性质”。但是这种把归纳归入范围较大的归纳的
方法在实用上必然有一个限度，我们不管在什么地方停下来，在我们知识的
任何一种特定的情况下停下来，在凯恩斯的H 下所汇集的与件一定不是在只
有假定了归纳的前提下才与本问题有关的与件。
因此我们就得在归纳之外去寻找一些原则，这些原则在已知某种不属于
“这个A 是一个B”这种形式的与件的情况下，能使“凡A 都是B”这种概括
性命题具有有限的概率。已知这类原则，又已知适用这类原则的一个概括性
命题，归纳法就可以使这个概括性命题具有越来越大的概率，在有利的实例
数目无限增加时具有逐渐接近必然性并以其为极限的概率。在这样的论证当
中，我们所说的那些原则是前提，但归纳却不是这种前提，因为在我们使用
归纳的那种形式下，它是概率的有限频率说的一个分析性推论。
因此我们的问题是在尚未发现证据之前，找出使适当的概括性命题具有
概然性的一些原则。
我们还要看一看凯恩斯所说的另外一个条件，即当n 增加时qn应趋近于
零。qn是在尽管概括性命题为伪而所有前n 个实例却都是有利的实例时的概
率。让我们重复一遍以前说过的一个例子，假定你是个户口调查官员，从事
情查威尔斯某个村庄居民的姓名。你所调查的前n 个居民都叫威廉。那末qn
就是在居民不都叫威廉的情况下发生这件事的可能性。就这个实例说，当n
变得等于村中居民数的时候，村中再也不会有一个可以不叫作威廉的人，因
此qn 也就为零。但是一般来说这种无遗漏的列举是不可能的。一般来说，A
将是一类总在发生并且除非发生就无法观察到的事件，所以除非到了时间结
束，我们无法把A 没有遗漏地列举出来。我们也无法猜想A 有多少分子，甚
至无法猜想它是不是一个具有有限数分子的类。这样一些实例是我们在研究
凯恩斯所说的条件，即当n 增加时qn必然趋近于零时所必须考虑到的。
凯恩斯把这个条件用另一种形式表示出来，即把qn作为n 个不同概率的
乘积。假定Q1是在概括性命题为伪的情况下第一个A 将是一个B 的概率，Q2
是在概括性命题为伪和第一个A 为一个B 的情况下第二个A 将是一个B 的概
率，以此类推。那么qn就是Q1，Q2，Q3，。。Qn。的乘积，这里Qn。是在已
知概括性命题为伪和前n…1 个A 都是B 的情况下，第n 个A 将是一个B 的概
率。如果有任何一个小于1 的数，并且所有的Q 都小于它，那么n 个Q 的乘
积小于这个数的n 次乘方，并且在n 增加时趋近于零。这样，如果有某个不
能达到必然性的概率，例如p，使得在已知概括性命题为伪和n…1 个A 已经
是B 的情况下，在n 足够大的时候第n 个A 将是一个B 的机会永远小于p，
我们的条件就可以得到满足。
很难看出这种条件在经验界所提供的材料上会发生失败的情况。如果这
种条件发生失败的情况，那末如果ε是任何一个不管多小的分数，而n 是任
何一个不管多大的数，并且如果前n 个A 都是B，但并非所有的A 都是B，则
有一个使得第（n＋m）个A 不是一个B 的可能性少于ε的数m。我们可以换
一种说法来讲这个问题。不管n 是什么数，设已知条件是前n 个A，但并非
所有的A，都是B。如果我们现在安排一下以后的A，不是按照它们出现的次
序而是按照它们是B 的概率的次序，那么这些概率的极限就是必然。这是在
这种条件失败的情况下必然要发生的事情。
显然这种条件比起前面所说的那种条件，即我们的概括性命题在有利事
例出现之前一定具有有限的概率，更少引起人们的兴趣并且更易于满足。如
果我们能够就一个已知的概括性命题找到一个保证产生这类有限概率的原
则，那么我们就有权利利用归纳法使得概括性命题具有概然性。但是在缺少
某种这类原则的情况下，我们却不能把归纳法当作一件使得概括性命题具有
概然性的东西。
在上面的讨论中，我按照凯恩斯的办法，只考虑“凡A 都是B”的证据。
但是在实用方面，特别是在一项研究的早期阶段，知道大多数A 是B 这一点
常常是有用的。例如，假定有两种疾病，其中一种是常见的而另一种是不常
见的，它们在早期阶段的症状非常相似。医生看到这些症状就得出结论，认
为他所处理的是那种比较常见的疾病，这样的做法是对的。那些我们相信没
有例外的定律通过适用于大多数但并非一切实例的先有的概括性命题而被发
现，这是很常遇到的事情。显然，建立‘大多数A 是B’这个概率所需要的
证据比起建立‘凡A 都是B’这个概率所需要的证据要少。
从实用的观点来看，这种区别并没有多大紧要。如果我们确实知道A 的
m/n 是B，那么M/n 就是下一个A 将是一个B 的概率。如果凡A 都是B 具有
概然性而不具有必然性，那么下一个A 将是一个B 仍然具有概然性。所以就
我们对于下一个A 的期待来看，确实相信大多数A 是B，或者认为凡A 都是
B 具有概然性，两者是相同的。在实际生活中最容易出现的情况是那种认为
大多数A 是B 具有概然性的情况。这种情况常常可以作为合理期待的充分根
据，因而成为实际生活中的指南。
第三章自然种类或有限变异的公设
为了使通过归纳得出的概然性接近必然性并以其为极限，在从事寻找所
需的公设上有两种要求。一方面，从单纯逻辑观点来看，公设必须有足够的
能力完成要它完成的任务。另一方面——这是更为困难的一种要求——它们
必须是这样一些公设，即某些439 依靠它们才具有正确性的推理从常识看来
或多或少是无可置疑的。例如，你找到同一种书籍的两本文字完全相同的复
本，你会毫不犹豫地认为它们有一个共同的作为产生它们原因的前件。就这
样一个实例来看，尽管每个人都承认这种推理，使它具有成立根据的原则却
并不明显，只有通过仔细的分析才能被人发现。我并不要求通过这种方法得
出的普遍性公设本身应具有某种不证自明的程度，但是我却要求在逻辑上依
靠它才能成立的某些推理将是这样一些推理，即除了怀疑派哲学家之外，任
何懂得这些推理的人都认为它们已经明显到无需再提的程度。当然，就一个
被提出的公设来说，一定不能存在任何可以认它为伪的正面理由。这个公设
特别应当是自相证实而不是自相否证；这就是说，假定它成立的那些归纳应
当具有与它一致的结论。
在本章内我想探讨一下由凯恩斯提出并被他称为“有限变异”的公设。
它与一种旧的公设，即自然种类的公设，即使不完全等同，也是十分相似的。
我们将发现这个公设作为归纳法的一种根据从逻辑上讲是有充分理由的。同
时我还认为我们可以用一种在某种程度上已经由科学证实了的形式把它表示
出来。因此它满足公设的三种要求当中的两种。但是照我看来，它并不能满
足第三种要求，即通过分析，可以从蕴涵于我们大家都能承认的论证中去发
现它。根据这个理由，我看有必要找寻另外的公设，这一点我将在以后几章
去做。
凯恩斯的公设是直接从他对于归纳法所做的讨论中产生的，是用来给予
某些概括性命题以某种有限的先在概率的，这种有限的先在概率凯恩斯已经
证明是必要的。在研究这个公设之前，先让我们来看一种论证，这种论证看
来好象证明我们并不需要什么公设，因为每个可以想象出来的概括性命题都
具有永不小于某个最小量的有限的先在概率。
让我们举一个在实际生活中发生的实例，这里在某种程度上近似于纯粹
的机遇。一艘大客轮上的旅客携带他们的行李到达海关。大多数行李上都有
许多标签，其中一个说明物主的姓名，另外440 一些则是他曾停留过的一些
旅馆的宣传广告。然后我们就可以考虑类似“每个有A 标签的皮箱也有B 标
签”这样的概括性命题的先在概率。为了完成逻辑上的类推，让我们假定也
有一些反面的标签，并假定没有任何皮箱既有“A”标签又有“不是A”的标
签，但是在这两种标签中每个皮箱不是有这一种就是有另外一种。在不知道
另外知识的条件下，如果我们随意选出A 与B 两种标签，那么每个有A 标签
的皮箱同时也有B 标签的机会是多少？因为每个皮箱不是具有B 标签就是具
有不是B 的标签，所以任何一个特定的皮箱具有B 标签的机会是一半。（我
现在假定我们关于B 毫无所知，特别是我们不知道它是正面的还是反面的标
签。）由此得出，如果我们的n 个皮箱具有A 标签，那么它们都具有B 标签
的机会是2n分之一。这是个有限数，并且如果N 是皮箱的总数，那么这种机
会永远不会小于2n分之一。
从上面的论证可以得出这个结论：如果宇宙中“事物”的数目是某个有
限数N，那么“凡A 都是B”这个概括性命题永远具有至少有1/2n 这样大的
先在概率。这是在每件事物都有A 性质的条件下的先在概率；如果只有某些
事物有这种性质，那么这种先在概率就会更大。所以从理论上讲，需要给凯
恩斯的归纳学说加以补充的一个充分的公设就是认为宇宙中“事物”数目是
有限的这个假定。这和认为时空点的数目是有限的那个假定具有相同的意
义。这又和认为性质的数目是有限的那个假定具有相同的意义，如果我们采
用前面一章所提出的看法的话，按照这种看法一个时空点乃是一组共现的性
质。
我确信这个假定从逻辑上讲是一个充分的公设。可是对它来说还存在着
两点反对的理由。一点是科学不能提供决定它是否为真的方法，因而它不是
自相证实的；另外一点是N 必然会大到这种程度，以致使得我们实际所能完
成的任何归纳都不具有说得过去的概然程度。因此让我们把上面这种提法只
作为一种新鲜的说法而搁在一边，转而探讨凯恩斯的一种比较实际的假设。
凯恩斯所需要的假设是某些种类的概括性命题比属于完全随意做出的概
括性命题具有更高的起始概率。为了这个目的，他提出一个公设，意思是事物可能具有的性质分为若干群，而且一个群在只要知道构成它的某些性质就可以被确定下来。他假定：
“任何一个已知物体的几乎数不尽的表面的性质都是从一个有限数目的
基因性质产生的，我们可以把这些基因性质叫作jjj ，。。。有些性质是完全从j 产生的，有些则是从j 与j 的结（，） 合产（，） 生（3） （2） （1） 的，以此类推。只从j1 产生的（1） 性质形成一群性质；从j（1） 1 与（2） j2 的结合产生的性质
形成另外一群性质，以此类推。因为基因性质的数目是有限的，所以群的数
目也是有限的。如果一组表面性质，比方说，是从j1 j2 j 三种基
因性质产生，那么我们就可以说这组性质确定了j1 ，j（，） 2 ，j（，） 3 这（3） 个群。
因为一般假定表面性质的总数大子基因性质的数目，并且因为群的性质是有
限的，由此可以得出这个结论：如果我们取两组表面性质，那么在没有相反
证据的条件下，存在着第二组性质属于由第一组确定的那个群的有限概率”。
上面所说的这类独立群的数目叫作宇宙（或者与一个特殊论证有关的宇
宙中的一部分）中“变异”的总量。凯恩斯把他的公设叙述如下：
“因此，作为类推法的逻辑基础，我们似乎需要某种这样的假定，即认
为宇宙中变异的总量受到这样的限制：没有一个物体复杂到它的性质可以分
为无限数目的独立群（就是那些除了结合存在以外还能独立存在的群）；或
者说我们对之作出概括性命题的那些物体没有一个复杂到这种程度；或者至
少说虽然某些物体可能是无限复杂的，而关于一个我们想对之作出概括性命
题的物体不是无限复杂这一点却有时存在着有限的概率”①。
尼古德证明以上述形式表示的公设并不完全充分。每个物体的复杂性应
该是有限的，这一点还不够；我们需要有一个有限数，使得任何物体所有的
性质都属于不超过这个数目的独立群。我现在就要研究这个做出的改正。
我认为如果我们举动物学的实例，比方说用牛来说明，我们就可以对凯
恩斯的公设的范围得到最好的理解。牛是一种动物，一种脊椎动物，一种哺
乳动物，一种反刍动物，也是属于反刍动物当中一类的一个分子。这些分类
的字眼都可以有不同的定义，它们尽管在内包上有所不同，在外延上却是相
① 《概率论》第二十二章，第258 页。
同的。举例来说，我们怎样把牛与其它反刍动物区别开来？我们大多数人都
满足于外表形象：牛就是看起来像牛的动物。这在实际生活中是完全够用的，
但是一位动物学家却可以列举出牛所共有的许多特征，其中任何一个特征都
可以用来给“牛”这个词下定义。同样的办法可以适用于“反刍动物”，“哺
乳动物”，“脊推动物”和“动物”。这些词当中每一个都可以有不同的定
义，这些定义在外延上相等，虽然我们还不知道为什么是这样的理由。显然
如果这种事情经常发生，概括性命题就会有比在任意分配性质的条件下大得
多的先在概率。
让我们比较详细他讲述一下凯恩斯的假设。他假定——不是就一般来讲
就是就某个特定领域来讲——可能找出一个由基本性质构成的有限集合，这
个集合使得在我们知道某一个体具有这些性质中哪些性质的时候，我们就能
够知道（至少在理论上是这样）这个个体的至少某些另外性质是什么，不是
因为存在着逻辑上的关联，而是因为事实上某些性质只与某些其它性质一起
出现——例如，一切反刍动物的蹄子都由两半组成。这个假定类似于孟德尔
的遗传基因说，按照这个学说有限数目的基因决定一个动物或植物的全部先
天性质。凯恩斯假定存在有限数目的性质群，并且属于同一个群的两个性质
具有相同的外延。如果n 是这类群的数目，并且如果我们任意选择两种性质，
那么它们属于同一个群，并且因而凡是具有其中一种性质的个体也具有另外
一种性质的机会是1/n。这就足够为凯恩斯提供为了证实归纳法的正确性所
需要的基础。
象凯恩斯所指出的那样，这个公设可以通过不同的方式受到削弱而不致
失效。其中一个方式是我们不需假定所有性质都属于他所设定的这类群；如
果有一个有限部分做到这点就够了。如果有某个可以下定义的性质集合，这
些性质都属于凯恩斯群，那么只给某些虽然不是全部归纳找出合理根据就可
以了。我们大体能够把一个种类所特有的性质与随着个体而有所不同的另外
性质区别开来。举例说，在动物身上颜色被认为是变化很大的，因而“天鹅
都是白的”这个习见的错误归纳永远没有，比方说，“天鹅都有长脖子”那
样可靠。当一种特性为某一种类的所有分子所共有时，我们可以把这种特性
叫作“种类的”特性，因为一个种类是由于不明的原因而在一起的具有许多
共同性质的类别。一般认为时空位置永远不是一个属于种类的性质。野生状
态的有袋类动物固然只出现在澳大利亚，但是把它们带到其它地方的动物园
后并不能改变它们是有袋类动物。
确定一个已知特性是或者不是属于“种类”的特性可能需要使用归纳法；
但是如果我们假定属于种类的性质是所有性质中的一个有限部分，那么归纳
法的这种应用就是有合理根据的。
在许多问题上，我们只要能够确定大多数A 都是B，那就可以满足要求；
因此我们可以把凯恩斯的公设变得温和一些，假定它说某些特性通常是连在
一起的。如果一个“自然种类”是由A1，A2。。An等性质（不知它们之间互
相依赖）来下定义的话，那么我们为了某些目的就可以认为一个具有只差一
个就是全部这些性质的个体仍然可以作为该类的一个分子。例如无尾猫尽管
没有尾巴，仍然不失为猫。另外许许多多可以作为标记的特性可能发生延续
不断的变化，所以存在着不能肯定说某种已知特性是否出现的边缘情况。自
然种类正像拓扑学中所说的邻域，但这是内包的而不是外延的邻域。举例来
说，猫类似一群星簇：它们并不是都在一个内包的地点，但是它们大多数却
围绕着一个内包中心而聚集在一起。假定演化是对的，一定存在着远离中心
的分子，它们的变异达到使我们几乎无法确定它们是否属于这一簇的程度。
对于自然种类的这种看法有一个优点，那就是说在先进科学容纳这种看法之
前，它无需做出任何改变。
可是这些想法却提示我们把凯恩斯的公设转化为比他所陈述的那个原则
更加富有弹性，更少让人想到逻辑教科书那样的东西。看来一定存在着使得
某些种类的结合比另外一些种类的结合更加稳定的定律，这些定律要求当一
种特性发生变化时，另一种特性也将受到相关的微小变化。这个过程引导出
相关的函数律，人们把它当作比自然类别大概更为基本的东西。
上面这种思路看来在生物学中是适合的，但是近代原子学说提供了一种
多少有些不同的想法。十八世纪和十九世纪人们发现，被观察的物质的极大
多样性可以通过认为它们都是由九十二种元素（有些尚未发现）组成而得到
解释。直到本世纪，人们认为每种元素都具有由于某种尚未了解的原因而共
存的许多性质。原子量、溶点、外形等使一种元素成为一个自然种类，正象
演化论出现以前生物学中的情况一样。可是最后却发现不同元素之间的不同
乃是结构上的不同，是同样适用于一切元素的一些定律产生的结果。仍然存
在着自然种类——在目前是电子、正子、中子和质子——但是人们希望这些
并不是最后的不能再分的东西，有可能归结为结构上的不同。在量子论中，
它们的存在就已经显得有些不明显和不实在了。这一点向人们提示：在物理
学中，正象在达尔文以后的生物学中一样，自然种类的学说最后可能证明只
是一种暂时的现象。
我的结论是：自然种类的学说，尽管在建立象“狗吠”“猫叫”这类先
于科学的归纳上是有用的，却只是在通向另外一种性质不同的基本定律的道
路上的一种近似的和过渡性质的假定。由于这个原因，也由于它的人为的偶
然性，我不能把它当作科学推理的一个公设。
第四章超越经验的知识
某些近代的经验主义者（特别是大多数逻辑实证主义者），照我看来，
误解了知识对于经验的关�
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