空系列丛书-第112部分

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脱，已别承恩。春风之桃李方开，早闻移主。邱垄累累，金章布衣。白羊青草只堪恨，逐利争名何太非。尝闻萧史王乔，长生孰见。任是秦皇汉武，不死何归。吾欲挹元酒于东溟，举嘉肴于西岳。命北帝以指荣枯，召南华而讲清浊。饮大道以醉平生，冀陶陶而返朴。

　　　　初二毕业的时候，新来的初三班主任老师问现任班主任老师燕羽，在这个班里谁成绩最好，最有希望。

　　　　燕羽就去把言羽叫来，当着言羽的面对新来的班主任老师说：“我就最看好这个孩子，虽然他现在成绩不太稳定，但他最勤奋，最有求知欲。他叫言羽，虽然现在他的成绩不算很好，甚至根本进不了班里前十。但是请你相信我，以后如果你希望这个班里有人能为你放卫星的话，那么这个人一定是言羽。只要把他盯紧点儿，有什么不可能的事让他做，他都可以给你做到。”

　　　　言羽听了惊诧莫名，因为他从来没有想到过，一向极少表扬自己的燕羽老师，竟然会当着新的班主任老师的面，对自己做出这样高的评价来。

　　　　他抬头看燕羽老师，正迎来她慈祥的目光中饱含的期盼与信任。

　　　　忽然间言羽不由得心中一热，没想到原来像自己这样一个经常调皮捣蛋的学生，在燕羽老师的心目中却有着如此重要的地位。一念至此，言羽心中不禁心潮澎湃，激动不已。从此以后，言羽学习起来比原来认真多了，而且主动减少了不少的游戏和鬼混时间。
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《平凡的世界》第一篇　《浪漫生活一百年》　第二章　少年　第二十二节　　传奇共分享

生命之中，不同的阶段，你能够和谁在一起，一起做些什么事，这的确很重要。

　　　　特别是年轻时思想意识形成阶段，好的老师和朋友，甚至能改变你的成长轨迹，决定你的人生成就。

　　　　虽然言羽从小非常贪玩，自控力极差，一提到打游戏看电影什么的立刻就忍不住想逃课，但是言羽对学习本身，也同样极有兴趣。

　　　　言羽身边结识的，都是些极有趣的朋友，而且也不乏喜欢钻研数理之人。

　　　　因为言羽发现，与其和那边那些整天抱怨学习枯燥而又不想法改变现状的同学一起抱怨人生穷困、哀叹学习痛苦，不如抽空多读几本好书、多做几道数学题、多写几首小诗，或者和朋友多下几盘棋、多打几场球，甚至逃课出去多打几局电子游戏，所以他也慢慢放弃了一些喜欢打架斗殴、不学无术的朋友，多结交了一些喜欢学习，志同道合的学友玩友。

　　　　比如言羽有一个好朋友，叫做万敏，是外班的同学，数学极佳，两人经常在奥校学习，一起打桥牌，一起参加数学比赛一起拿奖，是非常要好的朋友。还有一些其它喜欢数学也喜欢打桥牌的朋友，比如马屁精，大家经常聚在一起，讨论牌局，也讨论数学问题。

　　　　言羽其实数学基础不扎实，喜欢偷懒，喜欢投机取巧，一看到复杂的计算公式就头疼，只喜欢寻找最简单的算法也只记最简单思路，不像万敏，基础极为扎实，在初中时就已经自学了高中甚至大学的一些数学知识。

　　　　但言羽的狗屎运很好，对数学有着特殊的直觉和灵感。比如有一次区上的数学竞赛考试，其中一题超前了，考了高中才能学到的复数知识。言羽根本不懂题目讲了些啥，但是对比四个选项的数字规律，用排除法和灵感就直接推出了正确选择。下来一问才知道，万敏和其它一些奥校同学都自学过复数，都认认真真一步一步计算，最后算出了结果。

　　　　言羽因为不懂复数而猜题，反而节约了时间，而那次考试中有很多言羽擅长的平面几何题，所以虽然两人都拿了一等奖，言羽的分数竟比万敏的还高。

　　　　其实学数学是很枯燥乏味的，特别是冥思苦想也不得其解时，是很需要有朋友一起交流放松的。

　　　　生活就是这样，总得从平淡乏味之中找到一点儿有意思的事，哪怕是在最烦闷最无趣的时候，也得学会自己找点儿乐子。

　　　　言羽无疑就是能自找乐子的高手，也很容易带动别的同学一起寻找和创造欢乐。

　　　　而阅读是一种修养，分享是一种美德。

　　　　即使是最为枯燥无趣的数学公式，最为晦涩难懂的文言古文，背后其实都隐藏着不少有趣的历史故事，所幸有好的老师和知心的朋友，一一分享，教给了言羽许多精彩的知识，陪伴他度过了美好的学习时光，让他在知识的海洋中自由徜徉，无比欢畅。

　　　　比如古代的三等分任意角、倍立方、化圆为方问题，是古希腊三大几何问题，被并列为古代数学的三大千年难题。

　　　　公元前4世纪，托勒密一世定都亚历山大城。他凭借优越的地理环境，发展海上贸易和手工艺，奖励学术。他建造了规模宏大的“艺神之宫”，作为学术研究和教学中心；又建造了著名的亚历山大图书馆，藏书75万卷。托勒密一世深深懂得发展科学文化的重要意义，邀请著名学者到亚历山大城，当时许多著名的希腊数学家都来到了这个城市。

　　　　亚历山大城郊有一座圆形的别墅，里面住着一位公主。圆形别墅中间有一条河，公主的居室正好建立在圆心处。别墅南北围墙各开了一个门，河上建了一座桥，桥的位置和南北门位置恰好在一条直线上。国王每天赏赐的物品，从北门运进，先放到南门处的仓库，然后公主再派人从南门取回居室。

　　　　一天，公主问侍从：“从北门到我的卧室，和从北门到桥，哪一段路更远？”侍从不知道，赶紧去测量，结果是两段路一样远的。

　　　　过了几年，公主的妹妹小公主长大了，国王也要为她修建一座别墅。小公主提出她的别墅要修的像姐姐的别墅那样，有河，有桥，有南北门。国王满口答应，小公主的别墅很快就动工了，当把南门建立好，要确定桥和北门的位置时，却出现了一个问题：怎样才能使得北门到卧室和北门到桥的距离一样远呢？

　　　　已知南门位置为P，卧室（圆心）为O，设北门位置为Q，桥为K，要确定北门的和桥的位置，关键是做出∠OPQ，设PO和河流的夹角是α，可推出∠KPO=（180…2α）/3。

　　　　即只要能把180…2α这个角三等分，就能够确定出桥和北门的位置了。

　　　　工匠们试图用尺规作图法确定出桥的位置，可是他们用了很长的时间也没有解决。于是他们去请教阿基米德。

　　　　阿基米德用在直尺上做固定标记的方法，解决了三等分一角的问题，从而确定了北门的位置。但阿基米德是在尺上做了标记刻度，这在尺规做图法中其实是不允许的。

　　　　这个故事提出了一个数学问题：如何用尺规三等分任意角，这个问题连阿基米德都无法解答。

　　　　后人把几何问题转换成代数语言：

　　　　一个平面作图问题，前提总是给了一些平面图形，例如，点、直线、角、圆等，而直线是由两点决定的；一个角可由其顶点和每边上取一点共三点决定；圆由圆心和圆周的一点决定；所以平面几何作图问题总可以归结为给定n个点即n个复数z1，。。。。，Zn（当然还有z0=1）。

　　　　尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的复数，所以问题就变成为：给了一批复数Z0，Z1，。。。Zn和Z，能否从Z0，Z1，。。。Zn出发利用尺规得到复数Z。

　　　　于是可给出如下递归定义：

　　　　定义：设S=｛Z0=1，Z1，。。。Zn｝是n＋1个复数，将

　　　　（1）Z0=1，Z1，。。。Zn叫做S…点；

　　　　（2）过两个不同的S…点的直线叫S…直线，以一个S…点为圆心、任意两个S…点之间的距离为半径的圆叫S…圆；

　　　　（3）由S…直线与S…直线、S…直线与S…圆、S…圆与S…圆相交的点也叫S…点。

　　　　上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S…点的集合，那么P也就是从S=｛Z0=1，Z1，。。。Zn｝出发通过尺规作图所得到的全部复数。

　　　　定理：设Z1，。。。Zn（n≥0）为n个复数。设F=Q（Z1，。。。Zn，Z1'，。。。Zn'），（Z'代表共轭复数），那么，一个复数Z可由S=｛Z0=1，Z1，。。。Zn｝作出的充要条件是Z属于F（u1，。。。un）。其中u12属于F；ui2属于F（u1，。。。ui…1）。换言之，Z含于F的一个2次根号扩张。

　　　　系：设S=｛Z0=1，Z1，。。。Zn｝，F=Q（Z1，。。。Zn，Z1'，。。。Zn'），Z为S…点，则＇F（z）：F＇是2的方幂。

　　　　以下证明三等分任意角的不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：

　　　　60度角即相当于复数Z1=1/2＋√3/2i。从而S=｛Z0=1；Z1｝，F=Q（z1；z1'）=Q（√…3）。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程4x3…3x…1/2=0，即8x3…6x…1=0。由于8x3…6x…1在Q＇x＇中不可约，从而＇Q（cos20）：Q＇=3，于是

　　　　6=＇Q（cos20；√…3）：Q＇=＇F（cos20）：Q＇=＇F（cos20）：F＇＇F：Q＇

　　　　由于＇F：Q＇=＇Q（√…3）：Q＇=2，所以＇F（cos20）：F＇=3，根据上面的系可知cos20不是S…点，从而60度不可能三等分。

　　　　。。。

　　　　有一位古希腊人埃拉托色尼，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。

　　　　他用简单的测量工具计算出了地球的周长，他发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。

　　　　埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。

　　　　他还算出太阳与地球间距离为1。47亿公里，和实际距离1。49亿公里也惊人地相近。他还测出黄赤交角的二倍是圆周的11/83。这些都充分反映了他的智慧。

　　　　埃拉托色尼还是首先使用“地理学”名称的人，写成了三卷专著，描述了地球的形状、大小和海陆分布，并用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。他的《地理学》是把地理置于合理的数学基础上的最早尝试。

　　　　他还创造了一种素数筛选的普遍公式，称为“埃拉托塞尼筛法”：

　　　　“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2………N中、将不大于√N（根号N）的素数的倍数全部划去即可”。

　　　　他对倍立方问题做过一定的研究，并制造出一种器械作图方法，还记载了倍立方问题起源的故事：

　　　　倍立方问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛（Delos），造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：

　　　　要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。

　　　　于是人们把每边增长一倍，结果体积变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；

　　　　人们又试着把体积变为原来的2倍，形状却变为一个长方体；

　　　　第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。

　　　　开始，柏拉图和他的学生根据平面作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍很容易，类推认为这个倍立方问题也很容易。但结果却难得超出他们想象。

　　　　其实这个问题，等价于对于任意定义的1用尺规做出三次根号2。简单说因为尺规作图只能做出有理数和有理数的2的n次方扩域，而含有三次根号2和有理数域的域对于有理数域的扩张次数肯定是三的倍数，不可能是2的n次方。所以尺规做不出三次根号二，也就完不成倍立方了。

　　　　。。。

　　　　而化圆为方难题，同样有一个故事：

　　　　公元前5世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱，被判处死刑。

　　　　在等待执行的日子里，夜晚安那萨哥拉斯总睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，使他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”

　　　　安那萨哥拉斯把“求作一个正方形，使它的面积等于已知的圆面积”作为一个尺规作图问题来研究。起初他认为这个问题很容易解决，谁料他把所有的时间都用上，也一无所获。

　　　　后经好朋友伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。他把自己狱中所想的问题公布出来，许多数学家对这个问题很感兴趣，都想解决，可是一个也没有成功。这就是著名的“化圆为方”问题。

　　　　其难度在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。化圆为方问题，实际上就是用直尺圆规作出线段π的问题。

　　　　1882年法国数学家林德曼证明了π是超越数，同时证明了圆为方问题是标尺作图不可能的问题。因为十九世纪有人证明了若设任意给定长度单位，则标尺可作的线段长必为代数数。而化圆为方问题相当于求作长为√π的线段，但√π并非代数数，故此线段不可作。

　　　　而这些几何问题，其实都可以转换为代数方程问题。因直尺和圆不能做出一般的立方根，所以常常无解。

　　　　在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”。

　　　　那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢？历史事实并不是这样。

　　　　事实上，中国南宋数学家秦九韶在1247年成书的数学巨著《数学九章》中就已经发表了一元三次方程的求根公式。

　　　　而西方数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，其实是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛�6�1冯塔纳（NiccoloFontana）。冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一，在多次方程大赛对战中获胜，甚至米兰对决中以30：0完胜。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔塔里亚”（Tartaglia），也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔塔里亚”来称呼冯塔纳。

　　　　而卡尔丹诺虽然是剽窃冯塔纳成果的人，但却是第一个在西方公布三次方程解的人，从人类知识分享的角度，他仍然算是一个功臣。

　　　　还有阿贝尔、伽罗瓦两位旷世奇才的故事，也十分精彩，令人扼腕。
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《平凡的世界》第一篇　《浪漫生活一百年》　第二章　少年　第二十三节　天才的陨落

言羽本来对数学王子高斯颇有好感，因为他的刻苦和勤奋，竟无意间机缘巧合地把一道流传了2000多年的数学难题（尺规作图作正十七边形），当成老师布置的家庭作业，通宵达旦地将它完成了。

　　　　然而后来知道了伽罗瓦和阿贝尔的故事以后，言羽不禁对成名后的高斯感到十分厌恶。

　　　　伽罗瓦和阿贝尔是人类数学界最耀眼的两位天才巨星，而两颗巨星的陨落，背后都笼罩着高斯的阴影。正是高斯等一批固步自封、刚愎自用的所谓数学前辈，将这两颗最为耀眼的天才之星，直接扼杀在其初生待长的摇篮之中。

　　　　阿贝尔、伽罗瓦和不少艺术家一样，偃蹇潦倒，死后才绽放闪烁璀璨的光芒。他们都20多岁就英年早逝，悲剧的命运，实在让人扼腕叹息。

　　　　但是他们的理论，究竟有什么过人之处？

　　　　不少数学或科学理论，人们会认为即使该理论的创建者没有提出该理论，日后也总会有其它数学家或科学家自然发展出该理论。那是大势所趋，顺其自然，例如，牛顿和莱布尼茨几乎同时而独立地发展出微积分。

　　　　然而，也有些数学或科学理论，却是灵性的产物，能够开拓新的领域，开创另一片天地。人们难以相信除了其创建者本人，还有人可能发展出那些理论。例如，费曼就怎样也想不到爱因斯坦是如何创建广义相对论的。

　　　　就同诗词歌赋一样，佳作本天成，妙手偶得之，写诗是要有天赋的，即便是历代帝王，也鲜有文学天才。史上帝王将相无数，公认有些才华的帝王也就仅有曹操，杨广和李煜三人。乾隆皇帝，酷爱写诗，一生很勤奋地写了四万多首诗，却几乎没有人能记得住他哪怕一句诗。

　　　　而阿贝尔和伽罗瓦的理论，在数学界之中，也正是这种如歌如赋别出机杼的神来之笔，除了他们，没有别的人能够完成。

　　　　历史上人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，中国在公元七世纪已经得到了一般的近似解法，唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶在他所著的《数书九章》的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶时期已得到了高次方程的一般解法。

　　　　而在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡尔丹诺公式，也称卡当公式。（这个公式其实是由意大利数学家塔塔里亚首先得到的；后来被米兰地区的数学家卡尔达诺问到，并剽窃发表在自己的著作里）。

　　　　三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里解出。于是数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。无数次的失败使人们怀疑5次以上方程根式求解的不可能性。

　　　　法国数学家拉格朗日更是称这一问题是在“向人类的智慧挑战”。他精心分析了二次、三次、四次方程根式解的结构之后，提出了方程的预解式概念，并且还进一步看出预解式和方程的各个根在排列置换下的形式不变性有关，也认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。

　　　　而挪威数学家阿贝尔，却石破天惊般利用置换群的理论，给出了高于四次的一般代数方程不存在代数解的严格证明，由此开辟了研究近世代数方程论（包括群论和方程的超越函数解法）的道路。

　　　　阿贝尔的父亲是村子里的基督教牧师，家境贫困，学校里不得法的教育方法没有使他对学业产生兴趣。15岁时，他幸运地遇到一位优秀的教师霍尔姆伯。在其耐心细致的教导和推荐下，阿贝尔自学了许多当代名家如牛顿、欧拉、拉格朗日、高斯的数学著作，大师们不同凡响的创造性方法和成果，一下子开阔了阿贝尔的视野，把他的精神提升到一个崭新的境界，进入到当时数学研究的前沿阵地。后来他感慨地在笔记中写下这样的话：“要想在数学上取得进展，就应该阅读大师本人而不是他们门徒的著作”。

　　　　1824年，踌躇满志的阿贝尔自费印刷了自己的论文《论代数方程，证明一般5次方程的不可解性》。鉴于经费原因，他把内容压缩在了6页上，以小册子的形式刊行于克里斯蒂安尼亚，把它作为自己晋谒大数学家们特别是高斯的科学护照。他相信高斯将能认识他工作的价值而超出常规地接见。

　　　　然而高斯收到后却说：“太疯狂了，居然这么几页纸就解决了数学界的世界难题？！”由于这种不屑，他直接把这本册子扔进了书堆，甚至人们在高斯死后的遗物中发现，阿贝尔寄给他的小册子还没有裁开。

　　　　阿贝尔见论文寄给格丁根的高斯也未引起高斯注意，这一冷遇使得他没有到格丁根去。

　　　　他又拜访了好几位有名望的数学家和天文学家，但也没有得到应有的重视。直到在德国认识了克雷尔（AugustLeopoldCrelle），这是阿贝尔一生中第二个对他的事业有极大帮助的人。克雷尔原先是一个工程师和建筑师，在阿贝尔和施泰纳的建议下，于1826年创办了《理论与应用数学杂志》（JournalfürdiereineundangewandteMathematik），常简称为《克雷尔杂志》，是历史最悠久的数学杂志之一。《克雷尔杂志》头三卷发表了阿贝尔22篇包括方程论、无穷级数、椭圆函数论等方面开创性的论文和施泰纳的论文。这使得欧洲大陆开始注意阿贝尔的工作，反过来，阿贝尔出色的论文也使《克�