空系列丛书-第113部分

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矫婵�创性的论文和施泰纳的论文。这使得欧洲大陆开始注意阿贝尔的工作，反过来，阿贝尔出色的论文也使《克雷尔杂志》后来获得永恒的声誉。

　　　　阿贝尔通过正常渠道将论文提交到法国科学院。科学院秘书傅立叶读了论文的引言，然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中，很巧妙地将它遗失然后声称找不到了。直到两年以后阿贝尔已经去世，失踪的论文原稿才重新找到，而论文的正式发表，则迁延了12年之久。

　　　　阿贝尔在欧洲大陆上没有取得合适的职位，经济的拮据使他在1827年5月回到挪威。1829年4月6日晨，他在贫病交困中郁郁去世，这颗耀眼的数学新星过早殒落；时年27岁。死后两天，克雷勒的一封信寄到，告知哥廷根大学已决定聘请他担任数学教授。人类数学界的损失是难以估计的，如果阿贝尔活到应有的寿命，不知将要做出多少新的贡献！

　　　　阿贝尔和雅可比（Jacobi）是公认的椭圆函数论的创始人。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性，引进阿贝尔积分。此外，在交换群、二项级数的严格理论、级数求和等方面都有巨大的贡献。可惜他的论文的价值受到高斯等老顽固的轻视和打压，没有及时被学术界所认识。

　　　　椭圆函数是从椭圆积分来的。早在18世纪，从研究物理、天文、几何学的许多问题中经常导出一些不能用初等函数表示的积分，这些积分与计算椭圆弧长的积分往往具有某种形式上的共同性，椭圆积分就是如此得名的。19世纪初，椭圆积分方面的权威是法国科学院的耆宿、德高望重的勒让得（A。M。Legen…dre）。他研究这个题材长达40年之久，引出许多新的推断，组织了许多常规的数学论题，却没有增进任何基本思想，并把这项研究引到了“山重水复疑无路”的困境。

　　　　正是阿贝尔开拓了“柳暗花明又一春”的前景，使勒让得在这方面所研究的一切黯然失色。关键来自一个简单的类比。微积分中有一条众所周知的公式，其不定积分的反函数就是三角函数。而椭圆积分与上述不定积分具有某种形式的对应性，因此，如果考虑椭圆积分的反函数，则它就应与三角函数也具有某种形式的对应性。既然研究三角函数要比表示为不定积分的反三角函数容易得多，那么对应地研究椭圆积分的反函数（后来就称为椭圆函数）不也应该比椭圆积分本身容易得多吗？

　　　　“倒过来”，这一思想非常优美，也的确非常简单、平凡。但勒让得苦苦思索40年，却从来没有想到过它，就像乾隆爷一生苦修写了四万多首诗一样，因缺乏灵感，难有突破。

　　　　科学史上并不乏这样的例证，优美、简单、深刻、富有成果的思想，需要的并不只是知识和经验的单纯积累，不是深思熟虑的推理，不是对研究题材的反复咀嚼，需要的是一种天赋，一种灵感，一种能够穿透一切障碍深入问题根柢的非凡的洞察力，这大概就是人们所说的旷世天才吧。

　　　　“倒过来”的想法像闪电一样照彻了这一题材的奥秘，凭借这一思想，阿贝尔高屋建瓴，势如破竹地推进他的研究。他得出了椭圆函数的基本性质，找到了与三角函数中的π有相似作用的常数K，证明了椭圆函数的周期性。他建立了椭圆函数的加法定理，借助于这一定理，又将椭圆函数拓广到整个复域，并因而发现这些函数是双周期的，这是别开生面的新发现；他进一步提出一种更普遍更困难类型的积分——阿贝尔积分，并获得了这方面的一个关键性定理，即著名的阿贝尔基本定理，它是椭圆积分加法定理的一个很宽的推广。至于阿贝尔积分的反演——阿贝尔函数，则由不久后的黎曼（B。Riemann）首先提出并深入研究。

　　　　自16世纪以来，随着三次、四次方程陆续解出，人们把目光落在五次方程的求根公式上，然而近300年的探索一无所获，阿贝尔证明了一般五次方程不存在求根公式，解决了这个世纪难题。

　　　　而且更重要的，事实上阿贝尔发现了一片广袤的沃土，他个人不可能在短时间内把这片沃土全部开垦完毕，用埃尔米特（Hermite）的话来说，阿贝尔留下的后继工作，“够数学家们忙上五百年”。

　　　　为了纪念挪威天才数学家阿贝尔诞辰200周年，挪威政府于2002年设立了一项数学奖——阿贝尔奖。这项每年颁发一次的奖项奖金高达80万美元，相当于诺贝尔奖的奖金，是世界上奖金最高的数学奖。在挪威皇宫还有一尊阿贝尔的雕像，这是一个大无畏的青年的形象，他的脚下踩着两个怪物——分别代表五次方程和椭圆函数。

　　　　如果说是贫穷毁了阿贝尔，那么可以说是冲动毁了伽罗瓦。

　　　　1832年5月30日清晨，在巴黎的葛拉塞尔湖附近躺着一个昏迷的年轻人，过路的农民从枪伤判断他是决斗后受了重伤，就把这个不知名的青年抬到医院。第二天早晨十点，这个年仅21岁的可怜人离开了人世，数学史上最年轻、最富有创造性的头脑停止了思考。后来的一些著名数学家们说，他的死使数学的发展被推迟了几十年………他就是伽罗瓦。

　　　　伽罗瓦的双亲都受过良好的教育。在父母的熏陶下，伽罗瓦童年时代就极有才华，表现出认真、热心等良好的品格。其父尼古拉�6�1加布里埃尔�6�1伽罗瓦属自由党人，是拿破仑的积极支持者，主持担任过提供少年就学的学校校长，并担任拉赖因堡15年常任市长，深受市民的拥戴。伽罗瓦曾向同监的难友勒斯拜——法国著名的政治家、化学家和医生说过：“父亲是他的一切”，可见父亲的政治态度和当时法国的革命热潮对伽罗瓦的成长和处事有较大的影响。

　　　　伽罗瓦的母亲玛利亚�6�1阿代累达�6�1伽罗瓦曾积极参与儿子的启蒙教育。作为古代文化的热烈爱好者，她把从拉丁和希腊文学中汲取来的英勇典范介绍给她儿子。1848年发表在《皮托雷斯克画报》上有关伽罗瓦的传记中，特别谈到“伽罗瓦的第一位教师是他的母亲，一个聪明兼有好教养的妇女，当他还在童稚时，她一直给他上课”。这就为伽罗瓦在中学阶段的学习和以后攀登数学高峰打下了坚实的基础。

　　　　1823年l0月伽罗瓦年满12岁时，离开了双亲，考入有名的路易�6�1勒�6�1格兰皇家中学。他的老师们对其中学生活的回忆录和笔记中，记载了他已经具有“杰出的才干”、“举止不凡”、极有个性，而且显露出强烈的求知欲。

　　　　伽罗瓦在路易�6�1勒�6�1格兰皇家中学领奖学金，完全靠公费生活。在第四、第三和第二年级时他都是优等生，在希腊语作文总比赛中也获得好评，并且在1826年l0月转到修辞班学习。

　　　　由于身体原因重修了二年级，使伽罗瓦有机会毫无阻碍地被批准去上初级数学的补充课程。自此他把大部分时间和主要精力用来研究、探讨数学课本以外的高等数学。伽罗瓦经常到图书馆阅读数学专著，特别对一些数学大师，如勒让德的《几何原理》和拉格朗日的《代数方程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》进行了认真分析和研究，但他并未失去对其他科目的兴趣。

　　　　因此，当1827年伽罗瓦回到修辞班时，他的全面发展甚至比他的数学天分在同学之中更加出人头地了。但是他对其它科目的教科书的内容以及教师所采用的教学法之潦草马虎感到愤怒。所以有的教师认为他被数学的鬼魅迷住了心窍。

　　　　这时伽罗瓦已经熟悉欧拉、高斯、雅可比的著作，这更提高了他的信心，他认为他能够做到的，不会比这些大数学家们少。到了学年末，他不再去听任何专业课了，而在独立地准备参加取得升入综合技术学校资格的竞赛考试。结果尽管考试失败，他仍然从中学初级数学班跳到里夏尔的数学专业班。

　　　　路易�6�1勒�6�1格兰中学的数学专业班教师里夏尔，是科学史上一个很有才华的教师，使人追念。里夏尔不仅讲课风格优雅，而且善于发掘天才。他遗留下的笔记中记载着：“伽罗瓦只宜在数学的尖端领域中工作”，“他大大地超过了全体同学”。
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《平凡的世界》第一篇　《浪漫生活一百年》　第二章　少年　第二十四节　　永恒的传奇

里夏尔帮助伽罗瓦于1828年在法国第一个专业数学杂志《纯粹与应用数学年报》三月号上，发表了他的第一篇论文—《周期连分数一个定理的证明》，并说服伽罗瓦向科学院递送备忘录。

　　　　1829年，中学学年结束后，伽罗瓦刚满18岁，7月2日，正当伽罗瓦准备入学考试时，他的父亲由于受不了天主教牧师的攻击、诽谤而自杀了。

　　　　之后在报考巴黎综合技术学校时，在口试中，他巧妙的写出一组数列以回答考官关于“对数”这样的过于简单的问题，而主考的教授比内和勒费布雷�6�1德�6�1富尔西对伽罗瓦阐述的见解不理解，居然嘲笑他。伽罗瓦由于被狂笑声所激怒，气愤地把黑板擦布扔到了主考人头上，于是再次遭到落选，仍然是一个非正式的预备生，后来读了师范大学。

　　　　1829年，伽罗瓦在他中学最后一年快要结束时，把关于群论初步研究结果的论文提交给法国科学院，科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。柯西却再次巧妙地将其遗失了，并且在计划的讨论会中对该论文只字不提。

　　　　1830年2月，伽罗瓦将他的群论研究成果比较详细地写成论文交上去了，以参加科学院的数学大奖评选，希望能够获奖。论文寄给当时科学院终身秘书傅立叶，但傅立叶在当年5月去世了，而在他的遗物中未能发现伽罗瓦的手稿。

　　　　就这样，伽罗瓦递交的两次数学论文都被遗失了。

　　　　第三次他的手稿由数学家柏松审查，但由于内容太过高深，柏松的评语是：完全不能理解。

　　　　而论文中，伽罗瓦通过改进数学大师拉格朗日的思想，既设法绕过了拉氏预解式，又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想（即把预解式的构成同置换群联系起来），并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了自己的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。

　　　　这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗瓦域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗瓦群。伽罗瓦域的子域和伽罗瓦群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗瓦群是可解群时，这方程是根式可解的。

　　　　伽罗瓦的悲剧在于，他比他同时代的人超前得太多，以致没人能理解他，甚至高斯，柯西和傅立叶都不能。高斯收到他的论文之后看到标题甚至没有看内容就直接扔进了废纸篓。因为关于五次方程的问题在当时被视为无法解决的难题，伽罗瓦那篇论文在高斯看来就像现代一个专科学生声称解决了哥德巴赫猜想一样不靠谱。这是数学界的又一大冤案，冤案制造者仍然有高斯。

　　　　因从小受父亲影响，有着极高的革命热情，伽罗瓦曾发誓“如果为了唤起人民，需要我死，我愿意牺牲自己的生命”。后来法国七月革命时，因为在校报上抨击政治两面派校长，最终被迫退学。

　　　　1831年7月，被反动王朝视为危险分子的伽罗瓦在国庆节示威时再次被抓，被关在圣佩拉吉监狱。在这里他庆祝了自己的20岁生日，并渡过了他生命中最后一年的大部分时间。

　　　　伽罗瓦在圣佩拉吉监狱中写成的研究报告中写道：“把数*算归类，学会按照难易程度，而不是按照它们的外部特征加以分类，这就是我所理解的未来数学家的任务，这就是我所要走的道路。”

　　　　“把数*算归类”这句话，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，这句话指点出后世的群论和所有衍生理论。其后好几代数学家的工作，才最终实现了伽罗瓦的理想。正是他的著作，标志着旧数学史的结束和新数学史的开始。

　　　　1832年3月16日伽罗瓦获释后不久，年轻气盛的伽罗瓦为了一个女人，有说是医师之女，也有说是一个舞女，卷入了一场他所谓的“爱情与荣誉”的决斗。伽罗瓦非常清楚对手的枪法很好，自己难以摆脱死亡的命运，所以连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。

　　　　或许是伽罗瓦在生活中受到巨大打击，论文三次被拒，挚爱的父亲自杀，未能考入综合工艺学院，年轻的充满激情的心又被心上人拒绝而碎裂，在如此巨大的压力下，决斗仅仅是他自杀的一种方式，两人隔着25公尺射击，伽罗瓦被打穿了肠子。死之前，他对在他身边哭泣的弟弟说：“不要哭，我需要足够的勇气在20岁的时候死去”。

　　　　决斗的前一晚，他用了一整夜的时间在纸上写下他的研究成果。他不时的中断，在纸边空白处写上“我没有时间，我没有时间”，然后又接着写下一个极其潦草的大纲。他在天亮之前那最后几个小时写出的东西，却一劳永逸地给一个已经折磨了数学家们几个世纪的难题找到了真正的答案，这个谜就是在什么条件下方程是可解的，并且由此开创了数学的一片新的天地。

　　　　伽罗瓦对自己的成果充满自信，他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性，而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现，这些对于消除所有数学界有关的混乱是有益的。”

　　　　伽罗瓦被埋葬在公墓的普通壕沟内，坟墓后世已无迹可寻。但他不朽的纪念碑就是他的著作，由他被拒绝的论文和他在死前那个不眠之夜写下的潦草手稿所组成。全世界都应该感谢当晚的手稿被舍瓦利叶保留了下来，不然他的论文也将永远被高斯、柯西这样不负责任的所谓大师完全埋没或“遗失”。

　　　　历史学家们曾争论过这场决斗是一个悲惨的爱情事件的结局，还是出于政治动机造成的，但无论是哪一种，一位世界上最杰出的数学家在他21岁时被杀死了，而他开始研究数学才仅仅只有五年（伽罗瓦1828年开始研究代数方程理论时，甚至还完全不了解阿贝尔已做的工作）。

　　　　伽罗瓦死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了十四年后，也就是1846年，才由法国数学家刘维尔领悟到这些演算中迸发出的天才思想，他花了几个月的时间试图解释它的意义。刘维尔最后将这些论文编辑发表在他的极有影响的《纯粹与应用数学杂志》上，并向数学界推荐。1870年法国数学家约当根据伽罗瓦的思想，撰写了《论置换与代数方程》一书，他在这本书使里伽罗瓦的思想得到了进一步的阐述。

　　　　伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数学发展现代阶段的开始。

　　　　伽罗瓦“把数*算归类”的群论思想，犹如一颗最耀眼的恒星，从此照亮了人类数学界的天空。

　　　　伽罗瓦非常彻底地把全部代数方程可解性问题，转化或归结为置换群及其子群结构分析的问题。这是伽罗瓦工作中的第一个“突破”，他犹如划破黑夜长空的一颗瞬间即逝的流星，开创了置换群论的研究，确立了代数方程的可解性理论，即后来称为的“伽罗瓦理论”，从而彻底解决了一般方程的根式解难题。

　　　　作为这个理论的推论，它系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而四次以下有公式解；它漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正p边形，p为质费马数（所以正十七边形可做图）；以及完美证明了古代三大作图问题中的两个：用圆规、直尺（无刻度的尺）三等分任意角和作倍立方体不可能。

　　　　另外，怀尔斯在复证费马大定理的时候，亦使用到伽罗瓦理论。

　　　　伽罗瓦理论的建立，不仅完成了由拉格朗日、鲁菲尼、阿贝尔等人开始的研究，而且为开辟抽象代数学的道路建立了不朽的业绩。

　　　　对伽罗瓦来说，他所提出并为之坚持的理论是一场对权威、对时代的挑战，他的“群”完全超越了当时数学界能理解的观念。也许正是由于年轻，他才敢于并能够以崭新的方式去思考，去描述他的数学世界，而也正因如此，他才受到了不公正的冷遇。

　　　　而伽罗瓦除了自己毫无意义的死亡之外，还因为其对数学的敏感，留下了一段用圆周率破案的千古传奇。

　　　　有一天，伽罗瓦得到了一个伤心的消息，他的一位老朋友鲁柏被人刺死了，家里的钱财被洗劫一空。而女看门人告诉伽罗瓦，警察在勘察现场的时候，看见鲁柏手里紧紧捏着半块没有吃完的苹果馅饼。女看门人认为，凶手一定就在这幢公寓里，因为出事前后，她一直在值班室，没有看见有人进出公寓。可是这座公寓共有四层楼，每层楼有15个房间，共居住着一百多人，这里面到底谁会是凶手呢？

　　　　伽罗瓦把女看门人提供的情况前前后后分析了一番：鲁柏手里捏着半块馅饼，是不是想表达什么意思呢？伽罗瓦忽然想到：馅饼，英文里的读音是“派”，而〃派〃正好和表示圆周率的读音相同。而鲁柏生前酷爱数学，伽罗瓦知道，他经常把圆周率的近似值取成3。14来做计算。“派”——3。14，鲁柏会不会是用这种方法来提示人——杀害他的凶手的房间号正是314呢？

　　　　为了证实自己的怀疑，伽罗瓦问女看门人：“314号房间住的是谁？”

　　　　“是米赛尔。”女看门人答道。

　　　　“这个人怎样？”伽罗瓦追问到。

　　　　“不怎样，又爱喝酒，又爱赌钱。”

　　　　“他现在还在房间吗？”伽罗瓦追问得更急切了。

　　　　“不在了，他昨天就搬走了。”

　　　　“搬走了？”伽罗瓦一呆，“不好，他跑了！”

　　　　“你怀疑是他干的吗？”女看门人问。

　　　　“嗯，如果我没有猜错的话，他一定就是杀害鲁柏的凶手！”

　　　　伽罗瓦向女看门人讲述了自己的推理过程，他们立刻把这些情况报告了警察要求缉捕米赛尔。米赛尔很快被捉拿归案，经过审讯，他果然招认了他因见财起意杀害鲁柏的全过程。就是这半块馅饼，让鲁柏在被害之际还提供了凶手的线索，并被伽罗瓦注意到，从而抓到了真凶。

　　　　了解到这些历史的传奇，言羽感受到了一种深深的孤独与悲哀，一种来自人类最高智慧的孤独与悲哀。但是，历史的曲折并不能埋没真理的光辉，由伽罗瓦开始的群论，不仅对近代数学的各个方向，而且对物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响。

　　　　罗瓦理论被扩充并推广到很多方向。戴德金曾把伽罗瓦的结果解释为关于域的自同构群的对偶定理。随着20世纪20年代拓扑代数系概念的形成，德国数学家克鲁尔推广了戴德金的思想，建立了无限代数扩张的伽罗瓦理论。伽罗瓦理论发展的另一条路线，也是由戴德金开创的，即建立非交换环的伽罗瓦理论。

　　　　而言羽等先灵派科学家后来结合了中国古代先灵的数理知识，在阿贝尔和伽罗瓦的群论基础上，将伽罗瓦理论拓展运用到了星际旅行的空间变换之中，实现了超高效的能源传送和时空矩阵战略布局。

　　　　比如希腊的古生物科学家伊莲娜就利用等角共轭点（isogonalconjugatepoints）可计算原理，在星际异星战役中，利用音波和地震，使星球共轭破裂及极限主应力产生可预期的连续变化，从而大规模地短期极速杀伤或长期持续破坏外星生物种群生态环境，在星际战役中发挥了重要作用（共轭在空间物质能量转换中有特殊作用，比如地震断裂共轭角变化范围趋势是随着与驱动边界距离的增大而减小；并具有波状起伏的特征，在板块边缘驱动力的挤压作用下；岩石圈下层塑性流动网络的共轭角随着变形的增大而由初始的直角变为钝角，变化函数由数学群论可推算）。

　　　　先灵派科学家更发现，通过计算机群论方程式计算，可以如《易经》暗含的太极万有统一理论一般，推演小至微粒大到星球的宇宙万物的数理变化，推算并改变原子、分子、晶体和星系等万物的物理体系结构和运动轨迹，甚至可使共轭分子和非共轭分子相互转化，改变物质的光子吸收特性和非平面分子内共轭电荷转移化合物的发光行为，实现并优化三维及多维光信息存储（共轭分子含有一个共轭体系，表现出特有的性能。非共轭分子中的每个双键各自独立地表现